Question

11．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n+1=2ⁿ，則a₁²+a₃²+a₅²+…+a_2n-1²等于（　�。�

• A． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• B． $\frac{1-{4}^{n}}{3}$
• C． $\frac{1{6}^{n}-1}{15}$
• D． $\frac{1-1{6}^{n}}{15}$

Answer 1

分析 由等比數列的前n項和S_n+1=2ⁿ，則a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=2，則q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，因此a_n²=4^n-1，數列{a_n²}是以1為首項，4為公比的等比數列，根據等比數列的前n項和的公式求得

解答 解：等比數列{a_n}的公比為q，
當n=1時，a₁=S₁=1，
a₂=S₂-S₁=（2²-1）-1=2，
q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴等比數列的首項為1，公比q為2，
則a_n=2^n-1，
則a_n²=4^n-1，是首項為1，公比為4的等比數列，
所以，則a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故選A．

點評 本題考查等比數列的性質及前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．