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已知a,b,c∈R+,a+b+c=1.
(1)求(a+1)2+4b2+9c2的最小值;
(2)求證:
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
c
+
a
3
3
2
分析:(1)在(a+1)2+4b2+9c2的前面乘以,然后利用重要不等式(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2得到要代數式的最小值.
(2)在不等式的左邊乘以[
a
+
b
)+(
b
+
c
)+(
c
+
a
)]
利用重要不等式得到要證的不等式.
解答:解:(1)因為a,b,c∈R+,a+b+c=1,所以
(1+
1
4
+
1
9
)[
(a+1)2+4b2+9c2][(a+1)+
1
2
•2b+
1
3
•3c]
2
=4

得(a+1)2+4b2+9c2
144
49

當且僅當a+1=4b=9c,即a=
23
49
,b=
18
49
, c=
7
49
時,
(a+1)2+4b2+9c2有最小值
144
49

(2)因為(a+b+c)(12+12+12)≥(
a
+
b
+
c
)
2

所以∴
a
+
b
+
c
3
,當且僅當a=b=c=取等號.
(
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
c
+
a
)
•[
a
+
b
)+(
b
+
c
)+(
c
+
a
)]
≥9

于是
9
2(
a
+
b
+
c
)
3
3
2
點評:證明不等式時,關鍵是如何湊成能利用重要不等式的形式,注意重要不等式中等號成立的條件.
練習冊系列答案
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證明:
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13

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1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值為
9
9

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1
3

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1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

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已知a,b,c∈R,且a>b,那么下列不等式中成立的是(  )

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同步練習冊答案
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