Question

【題目】已知函數是上的偶函數，對于都有成立，且，當，，且時，都有.則給出下列命題：①；②為函數圖象的一條對稱軸；③函數在上為減函數；④方程在上有4個根；其中正確的命題個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由可得，結合偶函數的性質可得，從而推出，可得函數是以6為周期的周期函數，從而可判斷①②，又根據當，，且時，都有可得函數在上單調遞增，結合函數值以及對稱性可判斷③④．

解：對于①，令，由得，

又函數是上的偶函數，

∴，

∴，

即函數是以6為周期的周期函數，

∴；

又，所以，從而，即①正確；

對于②，函數關于y軸對稱，周期為6，

∴函數圖象的一條對稱軸為，故②正確；

對于③，當，，且時，都有，設，

則，故函數在上是增函數，

根據對稱性，易知函數在上是減函數，

根據周期性，函數在上為減函數，故③正確；

對于④，因為，又由其單調性及周期性可知

在，有且僅有，

即方程在上有4個根，故④正確；

故選：D．