Question

【題目】已知集合，且中的元素個數(shù)大于等于5.若集合中存在四個不同的元素，使得，則稱集合是“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合是集合的“關(guān)聯(lián)子集”；若集合不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合是“獨(dú)立的”.

分別判斷集合和集合是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”？若是“關(guān)聯(lián)的”，寫出其所有的關(guān)聯(lián)子集；

已知集合是“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合，總存在的關(guān)聯(lián)子集，使得.若，求證：是等差數(shù)列；

集合是“獨(dú)立的”，求證：存在，使得.

Answer 1

【答案】是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)子集有；是獨(dú)立的；

證明見解析；

證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題中所給的新定義，即可求解；

（2）根據(jù)題意，，，，， ，進(jìn)而利用反證法求解；

（3）不妨設(shè)集合，，且.

記，進(jìn)而利用反證法求解；

解:是“關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有;

是“獨(dú)立的”

記集合的含有四個元素的集合分別為:

，，，，

.

所以，至多有個“關(guān)聯(lián)子集”.

若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是 “關(guān)聯(lián)子集”，否則

同理可得若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是 “關(guān)聯(lián)子集”.

所以集合沒有同時含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾.

所以一定不是“關(guān)聯(lián)子集”

同理一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.

所以集合的“關(guān)聯(lián)子集”至多為.

若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；

若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；

若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；

所以都是“關(guān)聯(lián)子集”

所以有，即

，即.

，即，

所以.

所以是等差數(shù)列.

不妨設(shè)集合，，且.

記.

因?yàn)榧��?/span>是“獨(dú)立的”的，所以容易知道中恰好有個元素.

假設(shè)結(jié)論錯誤，即不存在，使得

所以任取，，因?yàn)?/span>，所以

所以

所以任取，

任取，

所以，且中含有個元素.

(i)若，則必有成立.

因?yàn)?/span>，所以一定有成立.所以.

所以

，，

所以，所以，有矛盾，

(ii)若，

而中含有個元素，所以

所以，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以

所以

所以，矛盾.

所以命題成立.