Question

在R上定義的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區間x∈[1，2）是減函數，則函數 f（x）（　　）

• A、在區間[-2，-1]上是減函數，區間[3，4]上是增函數
• B、在區間[-2，-1]上是減函數，區間[3，4]上是減函數
• C、在區間[-2，-1]上是增函數，區間[3，4]上是增函數
• D、在區間[-2，-1]上是增函數，區間[3，4]上是減函數

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：先再根據函數f（x）是偶函數，得到函數f（x）的圖象關于y軸對稱，根據條件f（x）=f（2-x），函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，由函數的對稱性研究還可得到函數的周期性，利用已知f（x）在區間x∈[1，2）是減函數，得到函數f（x）在相關區間上的單調性，得到本題結論．

解答： 解：∵定義的函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
函數f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）在區間x∈[1，2]是減函數，
∴f（x）在區間x∈[-2，-1]是增函數
∵f（x）=f（2-x），
∴f（1+x）=f[2-（1+x）]=f（1-x），
函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
∴f（x）在區間x∈[3，4]是減函數．
故選D．

點評：本題考查了函數的奇偶性與圖象的對稱性、單調性的關系，本題難度不大，屬于基礎題．