Question

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=

4 2

3

，|CD|=2-

4 2

3

，AC⊥BD，M為CD的中點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數λ₀，使

MP

=λ0

PN

，且P點到A、B 的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（3）過(0，

1

2

)的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意設出M的坐標，得到C，D的坐標，由

AC

•

BD

=0列式得到M的軌跡方程；
（2）設出P的坐標，得到M的坐標，把M的坐標代入（1）中的軌跡方程即可求得P的軌跡；
（3）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求得P，Q兩點橫坐標差的絕對值，代入三角形的面積后換元，然后利用配方法求得最值．

解答： 解：（1）設點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則C(x，y-1+

2

3

2

)，D(x，y+1-

2

3

2

)．
又A(0，

2 2

3

)，B(0，-

2

3

2

)．
由AC⊥BD，有

AC

•

BD

=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）；
（2）設P（x，y），則M（（1+λ₀）x，y），代入M的軌跡方程有(1+λ0)2x2+y2=1(x≠0)．
即

x2

( 1 1+λ0 )2

+y2=1(x≠0)，
∴P的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個端點）．
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1-

1

(1+λ0)2

=(

2

3

2

)2．
∴λ₀=2．
從而所求P的軌跡方程為9x²+y²=1（x≠0）；
（3）由題意知l的斜率存在，設方程為y=kx+

1

2

．
聯立9x²+y²=1，有(9+k2)x2+kx-

3

4

=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

k

9+k2

，x1x2=

-3

4(9+k2)

．
∴|x2-x1|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2+27 (9+k2)2

．
令t=k²+9，則|x2-x1|=

4t-9 t2

，且t≥9．
∴S△OPQ=

1

2

×

1

2

|x2-x1|=

1

4

-9× 1 t2 +4× 1 t

=

1

4

-9( 1 t - 2 9 )2+ 4 9

，
∵t≥9，
∴0＜

1

t

≤

1

9

．
∴當

1

t

=

1

9

，即t=9，也即k=0時，△OPQ面積取最大值，最大值為

3

12

．

點評：本題考查了利用向量法求曲線的軌跡方程，考查了橢圓的定義，訓練了直線與圓錐曲線間的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常用直線與圓錐曲線聯立，利用根與系數的關系解題，考查了學生的計算能力，是壓軸題．