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已知圓M的圓心在x軸上,半徑為1,直線l:y=
4
3
x-
1
2
被圓M所截的弦長為
3
,且圓心M在直線l的下方.
(Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)若線段PQ的端點P的坐標為(4,3),端點Q在圓M上運動,線段PQ上一點R滿足
PR
=2
RQ
,求R點軌跡方程.
(Ⅲ)設A(0,t),B(0,t+6),(-5≤t≤-2),若圓M是△ABC的內切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.
考點:軌跡方程,圓的標準方程
專題:綜合題,直線與圓
分析:(I)設圓心M(a,0),利用M到l:8x-6y-3=0的距離,求出M坐標,然后求圓M的方程;
(II)利用代入法,即可求出R點軌跡方程;
(Ⅲ)設A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),設AC斜率為k1,BC斜率為k2,推出直線AC、直線BC的方程,求出△ABC的面積S的表達式,求出面積的最大值和最小值.
解答: 解:(Ⅰ)設圓心M(a,0),由已知,得M到l:8x-6y-3=0的距離為
1
2
,∴
|8a-3|
82+62
=
1
2

又∵M在l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1,故圓的方程為(x-1)2+y2=1.
(Ⅱ)設Q(a,b),R(x,y),則a=1.5x-2,b=1.5y-1.5,
∵端點Q在圓M上運動,
∴(1.5x-3)2+(1.5y-1.5)2=1;
(Ⅲ)設AC斜率為k1,BC斜率為k2,則直線AC的方程為y=k1x+t,直線BC的方程為y=k2x+t+6.
聯立得C點的橫坐標為xc=
6
k1-k2

∵|AB|=t+6-t=6,∴S=
1
2
6
k1-k2
•6=
18
k1-k2

由于圓M與AC相切,所以1=
|k1+t|
1+k12
,∴k1=
1-t2
2t

同理,k2=
1-(t+6)2
2(t+6)

∴k1-k2=
3(t2+6t+1)
t2+6t

∴S=6(1-
1
t2+6t+1
),
∵-5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,
∴Smax=
15
2
,Smin=
27
4
點評:本題是中檔題,考查直線與圓的位置關系,三角形面積的最值的求法,考查計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c成等比數列,且c=2a,則sinB=(  )
A、
1
4
B、
3
4
C、
7
4
D、
2
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

設M,m分別是f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值,則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),由上述估值定理,估計定積分
2
-1
2-x2
dx的取值范圍是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在R上定義的函數f(x)是偶函數,且f(x)=f(2-x),若f(x)在區間x∈[1,2)是減函數,則函數 f(x)(  )
A、在區間[-2,-1]上是減函數,區間[3,4]上是增函數
B、在區間[-2,-1]上是減函數,區間[3,4]上是減函數
C、在區間[-2,-1]上是增函數,區間[3,4]上是增函數
D、在區間[-2,-1]上是增函數,區間[3,4]上是減函數

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科目:高中數學 來源: 題型:

證明函數y=
2
x-1
在區間[2,6]上是減函數并求出它的最大值和最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
2x+3
3x
,數列{an}滿足a1=1,an+1=f(
1
an
),n∈N*
(1)求數列{an}的通項公式,
理科:(2)令bn=
1
an-1an
(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn
m-2005
2
對一切n∈N+成立,求最小整數m.
文科:(2)令bn=
1
anan+1
(n≥1),求{bn}的前n項和.

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科目:高中數學 來源: 題型:

解方程:2|x-1|•(
1
2
)-|x-2|=2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

將一張坐標紙折疊一次,使得點(0,2)與點(2,0)重合,點(7,3)與點(m,n)重合,則m+n=(  )
A、4
B、6
C、10
D、
36
5

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知i為虛數單位,復數z=-
1
2
+
3
2
i的共軛復數為
.
z
,則
.
z
+|z|=
 

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