Question

【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形， ， ， 為中點.

（1）求證： 平面；

（2）若底面，且直線與平面所成線面角的正弦值為，求的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】試題分析：（1）設為的中點，根據平幾知識可得四邊形是平行四邊形，即得，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面一個法向量，根據向量數量積求向量夾角，再根據線面角與向量夾角互余關系列等式，解得的長.

試題解析：（1）證明：設為的中點，連

因為，又，所以 ，

所以四邊形是平行四邊形，

所以

又平面， 平面，

所以平面.

（2）因為是菱形，且，

所以是等邊三角形

取中點，則，

因為平面，

所以，

建立如圖的空間直角坐標系，令，

則， ， ， ，

， ， ，

設平面的一個法向量為，

則且，

取，設直線與平面所成角為，

則，

解得，故線段的長為2.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】橢圓:的左、右焦點分別為、，若橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的左、右頂點， （）為橢圓上一動點，設直線分別交直線： 于點，判斷線段為直徑的圓是否經過定點，若是，求出該定點坐標；若不恒過定點，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將點坐標代人橢圓方程 并與離心率聯立方程組，解得， （2）根據點斜式得直線方程，與直線聯立解得點坐標，根據向量關系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進行化簡，并根據恒等式成立條件求定點坐標.

試題解析：(1)由已知，

∴①

∵橢圓過點，

∴②

聯立①②得，

∴橢圓方程為

（2）設，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

將④代入③得

設方程

∴方程

∴

由對稱性可知，若存在定點，則該定點必在軸上，設該定點為

則

∴

∴，∴

∴存在定點或以線段為直徑的圓恒過該定點.