Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）設向量$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，求α、β的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積與模長公式，即可求出計算結果；
（2）利用向量相等，列出方程組，結合三角函數的運算法則求出α、β的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1； 
又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；
于是${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=2²-0+4=8，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{c}$=（2，0），
$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（2cosα+2cosβ，2sinα+2sinβ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosα+2cosβ=2}\\{2sinα+2sinβ=0}\end{array}\right.$，
由此得cosα+cosβ=1，且sinβ=sin（2π-α），
由0＜α＜β＜2π，得α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{5π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積與模長公式的應用問題，也考查了向量相等和三角函數的運算問題，是綜合性題目．