Question

17．f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉化為|x+t|≥|$\sqrt{2}$x|在[t，t+2]恒成立，去掉絕對值，得到關于t的不等式，求出t的范圍即可．

解答 解：f（x）=x²，x∈[t，t+2]，
不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
即|x+t|≥|$\sqrt{2}$x|在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+$\sqrt{2}$）t在[t，t+2]恒成立，
或x≤（1-$\sqrt{2}$）t在[t，t+2]恒成立，
解得：t≥$\sqrt{2}$或t≤-$\sqrt{2}$，
故答案為：（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．