Question

橢圓

x2

4

+

y3

3

=1上有n個不同的點P₁、P₂、…、P_n，橢圓的右焦點為F，數列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差數列，則n的最大值是（　　）

• A、2 000
• B、2 006
• C、2 007
• D、2 008

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓方程求出a、b、c、e的值，再求出右焦點的坐標、右準線的方程，設P（x_n，y_n），根據圓錐曲線的統一定義、題意，列出x₁、x_n的不等式，再利用橢圓上點的橫坐標范圍，解之即可得到n的取值范圍，從而得出n的最大值．

解答： 解：由橢圓方程

x2

4

+

y3

3

=1得，a=4、b=

3

、c=1，
所以右焦點為F（1，0），離心率e=

1

2

，
設P（x_n，y_n），P到右準線x=4的距離為d_n=4-x_n，
根據圓錐曲線的統一定義得，

|PnF|

dn

=e=

1

2

，
所以|P_nF|=

1

2

（4-x_n）=2-

1

2

x_n，
因為數列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差數列，
所以|P_nF|-|P₁F|＞

n-1

1000

，
可得

1

2

x₁-

1

2

x_n＞

n-1

1000

，化簡得x₁-x_n＞

n-1

500

，
結合橢圓上點的橫坐標的范圍，得x₁-x_n＜2a=4
所以

n-1

500

＜4，解得n＜2001，得n的最大值為2000，
故選：A．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，圓錐曲線的統一定義，等差數列的通項公式等，考查化簡計算能力，屬于中檔題．