Question

橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上的點到直線x-y+6=0的距離的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先求出橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的參數方程

x=2 2 cosθ y=2sinθ

，再求出橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上的點P（2

2

cosθ ，2sinθ）到直線x-y+6=0的距離d=

|2 2 cosθ-2sinθ+6|

1+1

，再由和（差）角公式求出橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上的點到直線x-y+6=0的距離的最小值．

解答：解：∵橢圓

x2

8

+

y2

4

=1，
∴

x=2 2 cosθ y=2sinθ

，
橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上的點P（2

2

cosθ ，2sinθ）到直線x-y+6=0的距離
d=

|2 2 cosθ-2sinθ+6|

1+1

=

2

2

|2

3

sin(θ+α)+6|，（tanα=-

2

），
≤

2

2

(6-2

3

)
=3

2

-

6

．
故答案為：3

2

-

6

．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的參數方程、點到直線的距離公式、和（差）角公式，綜合性強，難度大，容易出錯，是高考的常見題型．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．