Question

已知一直線l與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1相交于A、B兩點，且弦AB的中點為P（2，1）．
（I）求直線l的方程；
（II）求|AB|的長．

Answer 1

分析：（I）先假設直線方程，在與橢圓方程聯立得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，利用中點坐標公式即可求；
（II）由（I）得x1+x2=4，x1x2=

10

3

，從而可求|AB|的長．

解答：解：（I）若斜率不存在，則由橢圓的對稱性及弦AB的中點為P（2，1），知不成立
若斜率存在，設斜率為k則直線的方程為：y-1=k（x-2），∴y=kx+1-2k，
代入橢圓方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
設A(x1，y2)，B(x2，y2)，則x1+x2=

4k(2k-1)

2k2+1

=4，
解得：k=-1，即1的方程為：x+y-3=0
（注：也可用點差法求解）
（II）當k=-1時，方程①為：3x²-12x+10=0，
∴x1+x2=4，x1x2=

10

3

．
∴|AB|=

2

16-4× 10 3

=

4

3

3

；

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線相交時的中點弦問題，通常利用設而不求的方法，應注意進行驗證，求弦長時可直接利用弦長公式求解．