Question

在雙曲線=－1的一支上有不同三點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，6)、C(x₃，y₃)與點(diǎn)F(0，5)的距離|AF|、|BF|、|CF|依次成等差數(shù)列。

(1)求y₁+y₃的值；

(2)求證線段AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。　

 

Answer 1

答案：
解析：

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程=1。易知F(0，5)為雙曲線上的焦點(diǎn)，A、B、C是雙曲線上支上的三點(diǎn)，|AF|、|BF|、|CF|均為焦半徑，故考慮運(yùn)用雙曲線的第二定義解答 (1)a2=12，b2=13，∵c2=25，，F(0，5)為上焦點(diǎn)，上準(zhǔn)線方程為y=，如圖所示，根據(jù)雙曲線的第二定義，有 ∵2|BF|=|AF|+|CF|，∴y1+y3=12. (也可以用第一定義求解，請(qǐng)讀者自己完成)。 (2)設(shè)AC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則y0==6，即M的坐標(biāo)為(x0，6)。問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)，故用差分法求AC的斜率kAC。 ∵A、C在雙曲線上， ∴    ①—②，得 ∴ ∴ ∴ AC的垂直平分線的方程是y－6=(x－x0)，令x=0，得y=，故它經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，)。