Question

在雙曲線

y2

12

-

x2

13

=1的一支上不同的三點A（x₁，y₁）、B（

26

，6）、C（x₂，y₂）與焦點F（0，5）的距離成等差數列．
（1）求y₁+y₂；
（2）證明線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey1-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey2-2

3

，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，可求出y₁+y₂的值．
（2）借助點差法求出AC的垂直平分線方程為y-6=-

13x

x1+x2

+

13

2

，由此可以得到不論-

13

x1+x2

為何值，直線恒過定點(0，

25

2

)．

解答：解：（1）由題設知，A、B、C在雙曲線的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey1-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey2-2

3

，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，∴6e=

ey1+ey2

2

，
∴y₁+y₂=12．
（2）證明：∵A，C在雙曲線上，∴

y 2 1

12

-

x 2 1

13

=1，且

y 2 2

12

-

x 2 2

13

=1．兩式相減得

y1-y2

x1-x2

=

12

13

•

x1+x2

y1 +y2

=

x1+x2

13

，
于是AC的垂直平分線方程為y-6=-

13

x1+x2

(x-

x1+x2

2

)，即y-6=-

13x

x1+x2

+

13

2

，
∴y=-

13x

x1+x2

+

25

2

．
∴不論-

13

x1+x2

為何值，直線恒過定點(0，

25

2

)．

點評：本題考查雙曲線的性質及其運用，解題時要注意點差法的合理應用．