Question

已知雙曲線E：

x2

24

-

y2

12

=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有

|GF|

|GP|

=

1

2

？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由雙曲線E：

x2

24

-

y2

12

=1，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）
又圓C過原點，所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16．   …（4分）
（Ⅱ）由題意，設G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得yG=±

15

，…（5分）
所以FG的斜率為k=±

15

，FG的方程為y=±

15

(x+6)．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距離為d=

15

2

，…（7分）
直線FG被圓C截得的弦長為2

16-( 15 2 )2

=7…（9分）
（Ⅲ）設P（s，t），G（x₀，y₀），則由

|GF|

|GP|

=

1

2

，得

(x0+6)2+ y 20

(x0-s)2+(y0-t)2

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①…（11分）
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．…（13分）
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定點P，其坐標為（-12，0）．  …（16分）