Question

設f（x）=lg[

1+2x+4xa

3

]，其中a∈R，如果當x∈（-∞，1）時，f（x）有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

當a=0時，真數

1+2x

3

恒大于0，成立；
當a≠0時，
x＜1，0＜2^x≤2¹=2
設b=2^x，
則4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，
即ab²+b+1＞0，
a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0，
當0＜b≤2時成立，
當-

1

2a

≤0，a＞0時，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開口向上，-

1

2a

≤0＜b≤2，
∴二次函數是增函數，
∴f（b）=a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞f（0）=1＞0，成立．
當0＜-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

時，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開口向下，
且b=2時有最小值
∴f（2）=4a+3＞0，a＞-

3

4

，
∴-

3

4

＜a≤-

1

2

．
當1＜-

1

2a

≤2，-

1

2

＜a≤-

1

4

時，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開口向下，
且b=0時有最小值，但b不取0
∴f（0）=1＞0，成立．
-

1

2

＜a≤-

1

4

．
當-

1

2a

＞2，-

1

4

＜a＜0時，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開口向下，
0＜b≤2＜-

1

2a

，
∴f（b）是增函數
∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立
∴-

1

4

＜a＜0．
綜上所述：a＞-

3

4

．