Question

7．下列命題中       
①若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀取得極值；
②若f′（x₀）=-3，則$\underset{lim}{h→0}$$\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}-3h）}{h}$=-12
③若z∈C（C為復數集），且|z+2-2i|=1，則|z-2-2i|的最小值是3；
④若函數f（x）=-x²+ax-lnx既有極大值又有極小值，則a＞2$\sqrt{2}$或a＜-2$\sqrt{2}$    
 正確的命題有②③．

Answer 1

分析 舉出反例f（x）=x³中，f′（0）=0，但0不是函數的極值點，可判斷①；
根據導數的定義，可判斷②；
根據復數模的幾何意義，可判斷③；
求出滿足條件的a的取值范圍，可判斷④．

解答 解：函數f（x）=x³中，f′（x）=3x²，f′（0）=0，但0不是函數的極值點，故①錯誤；
②若f′（x₀）=-3，則$\underset{lim}{h→0}$$\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}-3h）}{h}$=4f′（x₀）=-12，故②正確；
③若z∈C（C為復數集），且|z+2-2i|=1則Z到（-2，2）的距離為1，|z-2-2i|表示Z到（2，2）的距離，最小值是3，最大值為5，故③正確；
④若函數f（x）=-x²+ax-lnx既有極大值又有極小值，則f′（x）=-2x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+ax-1}{x}$=0有兩個不相等的正根，則$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-8＞0\\ \frac{a}{2}＞0\end{array}\right.$，解得a＞2$\sqrt{2}$，故④錯誤；
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查函數極值，導數的定義，復數模的幾何意義，難度中檔．