Question

16．如圖，設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C₂：y²=8x的焦點F重合，且橢圓C₁的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C₁的標準方程；
（2）過F作直線l交拋物線C₂于A，B兩點，過F且與直線l垂直的直線交橢圓C₁于另一點C，求△ABC面積的最小值，以及取到最小值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a，又由橢圓C₁的離心率得c，b=1即可．
（2）過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得y²-8my-16=0．|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，同理得|CF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{x}_{c}-{x}_{F}|=\frac{4}{4{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$．△ABC面積s=$\frac{1}{2}$|AB|•|CF|=$\frac{16（1+{m}^{2}）}{4{m}^{2}+1}•\sqrt{1+{m}^{2}}$．令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t\\;（t≥1）$，則s=f（t）=$\frac{16{t}^{3}}{4{t}^{2}-3}$，利用導數求最值即可．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C₂：y²=8x的焦點F重合，∴a=2，
又∵橢圓C₁的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴c=$\sqrt{3}$，⇒b=1，∴橢圓C₁的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得y²-8my-16=0．
y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=8（1+m²_）．
 過F且與直線l垂直的直線設為：y=-m（x-2）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-m（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 得（1+4m²）x²-16m²x+16m²-4=0，
x_C+2=$\frac{16{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$，⇒x_C=$\frac{2（4{m}^{2}-1）}{4{m}^{2}+1}$．
∴|CF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{x}_{c}-{x}_{F}|=\frac{4}{4{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
△ABC面積s=$\frac{1}{2}$|AB|•|CF|=$\frac{16（1+{m}^{2}）}{4{m}^{2}+1}•\sqrt{1+{m}^{2}}$．
令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t\\;（t≥1）$，則s=f（t）=$\frac{16{t}^{3}}{4{t}^{2}-3}$，f′（t）=$\frac{16（4{t}^{4}-9{t}^{2}）}{（4{t}^{2}-3）^{2}}$，
令f′（t）=0，則t²=$\frac{9}{4}$，即1+m²=$\frac{9}{4}$時，△ABC面積最小．
即當m=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，△ABC面積的最小值為9，此時直線l的方程為：x=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$y+2．

點評 本題考查了直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查了運算能力，屬于中檔題．