Question

若點A的坐標為（3，2），F為拋物線的焦點，點P是拋物線y²=2x上一動點，求|PA|+|PF|的最小值并求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用拋物線的定義，將點P到其焦點的距離轉化為它到其準線的距離即可．

解答： 解：根據題意，作圖如下，

設點P在其準線x=-

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上的射影為M，有拋物線的定義得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|=

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2

（當且僅當M，P，A三點共線時取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值

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2

時（M，P，A三點共線時）點P的縱坐標y₀=2，設其橫坐標為x₀，
∵P（x₀，2）為拋物線y²=2x上的點，
∴x₀=2，
∴點P的坐標為P（2，2）．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，將點P到其焦點的距離轉化為它到其準線的距離是關鍵，考查轉化思想的靈活應用，屬于中檔題．