Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=alnx（a＞0），
（1）判斷f（x）+g（x）的單調性；
（2）若f（x）-g（x）=ax有唯一解，求a．
（3）設a=2，F（x）=g（x）-f（x）-bx，若函數F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且滿足2x₀=m+n，問F（x）的圖象上存在點（x₀，F（x₀））處切線能否平行于x軸．若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，通過a＞0，x＞0，即可判斷導數的符號，進而判斷單調性；
（2）f（x）-g（x）=ax有唯一解即為l（x）=x²-alnx-ax=0有唯一解．求出l（x）的導數，求出單調區間，求得極小值也為最小值，則

l(x2)=0 l′(x2)=0

，整理化簡得到2lnx₂+x₂-1=0，設函數r（x）=2lnx+x-1，則r（x）在x＞0時r（x）是增函數，則r（x）=0至多有一解．r（1）=0，即可求得a；
（3）先假設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx．結合題意列出方程組，利用換元法導數研究單調性，證出ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

在（0，1）上成立，從而出現與題設矛盾，說明原假設不成立．由此即可得到函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線不能平行于x軸．

解答： 解：（1）令h（x）=f（x）+g（x）=x²+alnx（x＞0），
h′（x）=2x+

a

x

，由于x＞0，a＞0，則h′（x）＞0恒成立，
則f（x）+g（x）在（0，+∞）遞增；
（2）f（x）-g（x）=ax即為x²-alnx=ax由唯一解，
令l（x）=x²-alnx-ax，即l（x）=0有唯一解．
令l′（x）=0，得2x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+8a

4

（舍），x₂=

a+ a2+8a

4

，
當x∈（0，x₂ ）時，l′（x）＜0，l（x）在（0，x₂ ）上是單調遞減函數；
當x∈（x₂，+∞）時，l′（x）＞0，l（x）在（x₂，+∞）上是單調遞增函數．
∴當x=x₂時，l′（x₂）=0，l（x）_min=l（x₂ ），
∵l（x）=0有唯一解，∴l（x₂）=0．
則

l(x2)=0 l′(x2)=0

，即

x22-alnx2-ax2=0 2x22-ax2-a=0

，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設函數r（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時r（x）是增函數，∴r（x）=0至多有一解．
∵r（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

；
（3）設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，
其中F（x）=2lnx-x²-bx，F′（x）=

2

x

-2x-b．
結合題意，有
2lnm-m²-bm=0①，2lnn-n²-bn=0②，m+n=2x₀③，

2

x0

-2x₀-b=0④
①-②得2ln

m

n

-（m+n）（m-n）=b（m-n），
所以b=

2ln m n

m-n

-2x₀，
由④得b=

2

x0

-2x₀
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
設u=

m

n

∈（0，1），得⑤式變為lnu-

2u-2

u+1

=0（u∈（0，1）），
設y=lnu-

2u-2

u+1

（u∈（0，1）），可得y′=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0，
所以函數y=lnu-

2u-2

u+1

在（0，1）上單調遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2u-2

u+1

＜0，
也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評：本題給出含有對數符號的基本初等函數函數，討論了函數的單調性并探索函數圖象的切線問題，著重考查了導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性等知識，屬于中檔題．