Question

已知函數f（x）=x²+

a

x

（a∈R）．
（1）試判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在區間[2，+∞]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當a=0時，利用（1）（2）的結論，指出f（x）在區間（-∞，-3]上的單調性．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）通過f（x）解析式容易看出a=0時是偶函數，a≠0時是非奇非偶函數；
（2）求f′（x）=

2x3-a

x2

，所以便有2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立，所以a≤2x³在[2，+∞）上恒成立，2x³的最小值為16，所以便有a≤16；
（3）a=0時，f（x）=x²，根據二次函數的單調性即可判斷該函數在（-∞，-3]上的單調性．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=x²，該函數為偶函數；
若a≠0，f（1）=1+a，f（-1）=1-a，∴f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴此時f（x）為非奇非偶函數；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
∵f（x）在區間[2，+∞）上是增函數；
∴f′（x）≥0，即2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立；
∴a≤2x³在[2，+∞）上恒成立；
2x³在[2，+∞）上是增函數；
∴2x³在[2，+∞）上的最小值為16；
∴a≤16；
∴實數a的取值范圍為（-∞，16]；
（3）a=0時，f（x）=x²；
f（x）是二次函數，對稱軸為x=0；
∴該函數在（-∞，-3]上單調遞減．

點評：考查奇偶函數的定義以及判斷方法，函數單調性和函數導數符號的關系，以及二次函數的單調性．