Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a，c∈N^*），f（1）=5，6＜f（2）＜11，?x∈[

1

2

，

3

2

]，f（x）-2mx≤1恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍是（　　）

• A、m≥0
• B、m≥1
• C、m≥

  9

  4

• D、m≥

  11

  4

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把條件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c；進(jìn)而不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立，只需要求出[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，然后2（1-m）≤-

5

2

求出m的范圍即可．

解答： 解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
將①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，
∴a=1，c=2．
∴f（x）=x²+2x+2．
∵x∈[

1

2

，

3

2

]，不等式f（x）-2mx≤1恒成立，
∴2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
易知[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，
故只需2（1-m）≤-

5

2

即可．
解得m≥

9

4

．
故選：C

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，理解函數(shù)最值及幾何意義的能力，理解不等式恒成立的能力．