Question

已知定點，，滿足的斜率乘積為定值的動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程;

（2）過點的動直線與曲線的交點為，與過點垂直于軸的直線交于點，又已知點,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并證明．

 

Answer 1

（1）；（2）相切

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．

試題解析：【解析】
（1）設，，得． 4分

（2）設代入得

得 6分

當時,,, 8分

又得,的中點，圓的半徑．

圓心到時直線距離， 11分

當 ．

綜上，直線與為直徑的圓相切． 12分

考點：1、求曲線方程；2、直線與曲線的位置關系．