Question

13．已知實數x，y滿足方程2x+y+5=0，那么$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}$，可知其幾何意義為直線2x+y+5=0上的動點到定點A（2，1）的距離，再由點到直線的距離公式求解．

解答 解：$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}$，
其幾何意義為直線2x+y+5=0上的動點到定點A（2，1）的距離，如圖：

∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$的最小值為A到直線2x+y+5=0的距離，
等于$\frac{|2×2+1×1+5|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．