Question

10．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求角C；
（2）若$c=\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數公式，誘導公式，三角形內角和定理化簡已知可得2sinCcosC=sinC，由sinC≠0，可求cosC，結合C的范圍即可得解．
（2）由三角形面積公式可求C的值，進而可求ab，利用余弦定理即可得解a+b的值．

解答 解：（1）由已知及正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
即2cosCsin（A+B）=sinC，
故2sinCcosC=sinC，
可得$cosC=\frac{1}{2}$，
所以$C=\frac{π}{3}$．
（2）由已知，$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
又$C=\frac{π}{3}$，
所以ab=6，
由已知及余弦定理得a²+b²-2abcosC=7，
故a²+b²=13，從而（a+b）²=25，
所以a+b=5．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，誘導公式，三角形內角和定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．