Question

已知函數f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求得函數的導函數，得到f（1）=-3，f'（1）=0，由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，然后對a分類求解函數的單調期間．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1時，f（x）=x²-4x+2lnx，
∴f′(x)=

2x2-4x+2

x

(x＞0)，
則f（1）=-3，f'（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-3；
（Ⅱ）f′(x)=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1，
當0＜a＜1時，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時f'（x）＞0，
在x∈（a，1）時f'（x）＜0，
f（x）的單調增區間是（0，a）和（1，+∞），單調減區間是（a，1）；
當a=1時，在x∈（0，+∞）時f'（x）≥0，
∴f（x）的單調增區間是（0，+∞）．
當a＞1時，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時f'（x）＞0，
在x∈（1，a）時f'（x）＜0．
∴f（x）的單調增區間是（0，1）和（a，+∞），單調減區間是（1，a）．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的單調區間，關鍵是掌握導函數的符號與原函數單調性間的關系，是中檔題．