Question

設a，b，ω都是正數，函數f（x）=asinωx+bcosωx的周期為π，且有最大值f(

π

12

)=4．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若[

7π

6

， m]是f（x）的一個單調區間，求m的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據函數的周期求出ω，再由最大值f(

π

12

)=4列出方程組，求出a、b的值，利用兩角和的正弦公式化簡函數解析式；
（Ⅱ）由正弦函數的單調區間求出f（x）的單調區間，由

7π

6

=π+

π

6

和分類討論：[

7π

6

，m]是增區間和減區間，分別求出m的值，再求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=asinωx+bcosωx的周期為π，且ω＞0，
所以

2π

ω

=π，得ω=2，
則f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），
由最大值f(

π

12

)=4得，

a2+b2 =4 a 2 + 3 b 2 =4

，
解得a=2，b=2

3

，
所以f（x）=2sin2x+2

3

cos2x=4sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，
所以函數f（x）的遞增區間是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得，

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ(k∈Z)，
所以函數f（x）的遞減區間是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)，
因為[

7π

6

， m]是f（x）的一個單調區間，且

7π

6

=π+

π

6

=π+

2π

12

，
所以當[

7π

6

， m]是減區間時，即[

7π

6

， m]⊆[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)，m的值是

7π

12

+π=

19π

12

；
當[

7π

6

， m]是增區間時，即[

7π

6

， m]⊆-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，m的值

π

12

+2π=

25π

12

，
所以m的最大值是

25π

12

．

點評：本題考查了正弦函數的性質，兩角和的正弦公式，以及分類討論思想，考查化簡計算能力．