Question

【題目】已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n (m，n∈N*)的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，求展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)最小值．

Answer 1

【答案】272

【解析】

利用二項(xiàng)式求出中的系數(shù)，得出的關(guān)系，再求出的系數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最小值．

解:(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x的項(xiàng)為·2x＋·4x＝(2＋4)x，

∴2＋4＝36，即m＋2n＝18，

(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為

t＝22＋42＝2m2－2m＋8n2－8n，

∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，

∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

＝16，

∴當(dāng)n＝時(shí)，t取最小值，但n∈N*，

∴n＝5時(shí)，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272.