Question

【題目】在集合中，任取個元素構(gòu)成集合. 若的所有元素之和為偶數(shù)，則稱為的偶子集，其個數(shù)記為；若的所有元素之和為奇數(shù)，則稱為的奇子集，其個數(shù)記為. 令

(1)當 時，求的值；

(2)求.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）

【解析】

試題（1）第一小問是具體理解及時定義：當時，集合為，當時，偶子集有，奇子集有，，；同理可得，，（2）從具體到一般，是歸納：當為奇數(shù)時，偶子集的個數(shù)等于奇子集的個數(shù)，；當為偶數(shù)時，偶子集的個數(shù)，奇子集的個數(shù)，

涉及兩個組合數(shù)相乘：構(gòu)造二項展開式，比較對應項的系數(shù)

試題解析：解（1）當時，集合為，

當時，偶子集有，奇子集有，，；

當時，偶子集有，奇子集有，

，；

當時，偶子集有，奇子集有，

，；

（2）當為奇數(shù)時，偶子集的個數(shù)，

奇子集的個數(shù)，

所以．

當為偶數(shù)時，偶子集的個數(shù)，

奇子集的個數(shù)，

所以

．

一方面，

所以中的系數(shù)為

；

另一方面，，中的系數(shù)為，

故．

綜上，