Question

17．已知函數y=f（x），x∈D，若存在常數C，對任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，則稱常數C是函數f（x）在D上的“湖中平均數”．若已知函數$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}，x∈[{0，2016}]$，則f（x）在[0，2016]上的“湖中平均數”是$（\frac{1}{2}）^{1008}$．

Answer 1

分析 根據已知中函數y=f（x），x∈D，若存在常數C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，則稱常數C是函數f（x）在D上的“湖中平均數”．根據函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]，為單調減函數，可得f（x）在[0，2016]上的“湖中平均數”是其最大值和最小值的幾何平均數

解答 解：由已知中湖中平均數的定義可得C即為函數y=f（x），x∈D最大值與最小值的幾何平均數
又∵函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]為減函數
故其最大值M=1，最小值m=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
故C=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2016}}$=$（\frac{1}{2}）^{1008}$；
故答案為：${（\frac{1}{2}）^{1008}}$

點評 本題考查的知識點是函數單調性的性質，其中根據已知判斷出C等于函數在區間D上最大值與最小值的幾何平均數，是解答本題的關鍵．