Question

11．（1）已知直線l的方程為ax-y+2+a=0（a∈R），求證：不論a為何實數(shù)，直線l恒過一定點P；
（2）過（1）中的點P作一條直線m，使它被直線l₁：4x+y+3=0和l₂：3x-5y-5=0截得的線段被點P平分，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）把已知方程變形為a（x+1）-y+2=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{-y+2=0}\end{array}\right.$求得x，y值，得點的坐標，代入方程驗證成立即可；
（2）設直線m與已知直線l₁，l₂分別交于A、B兩點，由點A在直線l₁：4x+y+3=0上設出A的坐標（t，-4t-3），再由中點坐標公式得B的坐標，把B的坐標代入直線l₂：3x-5y-5=0求得t值，進一步得到A，B的坐標，由直線方程的兩點式求得直線m的方程．

解答 （1）證明：由ax-y+2+a=0，得a（x+1）-y+2=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{-y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=2．
把點（-1，2）代入ax-y+2+a=0，有-a-2+2+a=0．
∴直線ax-y+2+a=0恒過一定點P（-1，2）；
（2）解：設直線m與已知直線l₁，l₂分別交于A、B兩點．
∵點A在直線l₁：4x+y+3=0上，
故可設A（t，-4t-3），又P（-1，2）是AB的中點，
由中點坐標公式得B（-t-2，4t+7）．
∵B點在直線l₂：3x-5y-5=0上，
∴3（-t-2）-5（4t+7）-5=0，解得t=-2．
∴A（-2，5），B（0，-1），
由兩點式得直線方程為：3x+y+1=0．

點評 本題考查直線系方程的應用，考查了利用待定系數(shù)法求直線方程，是中檔題．