Question

12．已知正數數列{a_n}的前n項和S_n，且a_n²+a_n-2S_n=0．
（ I）求a₁，a₂的值；
（ II）求此數列的通項a_n與前n項和S_n．

Answer 1

分析 （ I）利用數列的遞推關系式，通過n=1，2求解數列的a₁，a₂的值
（ I）利用數列的關系式推出（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．判斷{a_n}是等差數列，然后求和．

解答 解：（ I）∵${a_n}^2+{a_n}-2{S_n}=0$，a_n＞0
∴由${a_1}^2+{a_1}-2{a_1}=0$，得：a₁=1； 由${a_2}^2+{a_2}-2（{a_1}+{a_2}）=0$，得：a₂=2．
（ II）∵$\left\{\begin{array}{l}{a_n}^2+{a_n}-2{S_n}=0\\{a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}-2{S_{n-1}}=0（n≥2）\end{array}\right.$，
∴$（{a_n}^2-{a_{n-1}}^2）+（{a_n}-{a_{n-1}}）-2{a_n}=0$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-1=0即a_n-a_n-1=1（n≥2），∴{a_n}是等差數列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n.${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（1+n）}{2}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，考查計算能力．