Question

2．設函數f（x）=$\frac{{{a^{2x}}-（{t-1}）}}{a^x}$（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立的實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）法1：依題意，由f（0）=0，得t=2；
法2：f（x）是定義域為R的奇函數⇒f（-x）=-f（x），整理得（2-t）（a^x+a^-x）=0對x∈R恒成立，從而可得t=2．
（2）利用奇函數f（x）=a^x-a^-x為R上的增函數，可將f（kx-x²）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立轉化為x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，再由△＜0即可求得實數k的取值范圍．

解答 解：（1）法1：因為f（x）是定義域為R的奇函數所以f（0）=0，得t=2．　
此時f（x）=a^x-a^-x，故f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）成立，所以t的值為2．
法2：因為f（x）是定義域為R的奇函數所以f（-x）=-f（x），
即a^-x-（t-1）a^x=-[a^x-（t-1）a^-x]，
所以（2-t）（a^x+a^-x）=0對x∈R恒成立，所以2-t=0，即t=2．
（2）由（1）得f（kx-x²）+f（x-1）＜0，得f（kx-x²）＜-f（x-1），
因為f（x）為奇函數，所以f（kx-x²）＜f（1-x）．
因為a＞1，所以f（x）=a^x-a^-x為R上的增函數．
所以kx-x²＜1-x對一切x∈R恒成立，
即x²-（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，
故△=（k+1）²-4＜0，解得-3＜k＜1．

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查函數奇偶性與單調性的綜合運用，考查等價轉化思想，屬于中檔題．