Question

設函數

（1）若關于x的不等式在有實數解，求實數m的取值范圍；

（2）設，若關于x的方程至少有一個解，求p的最小值．

（3）證明不等式：

 

Answer 1

（1）（2）p的最小值為0（3）見解析

【解析】

試題分析：

(1)存在性問題,只需要即可,再利用導數法求解f(x)的最大值(即求導，求單調性，求極值9與端點值比較得出最值).

(2) p的最小值為函數g(x)的最小值,利用導數求函數的最小值即可(即求導，求單調性，求極值9與端點值比較得出最值).

(3)利用第二問結果可以得到與不等式有關的恒等式.令.把n=1,2,3,,得n個不等式左右相加，左邊利用對數除法公式展開即可用裂項求和法得到不等式的左邊,即證得原式

試題解析：

(1)依題意得

，而函數的定義域為

∴在上為減函數，在上為增函數，則在上為增函數

,即實數m的取值范圍為 4分

(2) 則

顯然，函數在上為減函數，在上為增函數,則函數的最小值為

所以，要使方程至少有一個解，則，即p的最小值為0 8分

(3)由（2）可知： 在上恒成立

所以，當且僅當x=0時等號成立

令，則 代入上面不等式得：

即， 即

所以，，，，，

將以上n個等式相加即可得到： 12分

考點：導數 不等式 函數最值