Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，過點的直線與橢圓交于，兩點，的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定點，使得為定值

【解析】

（Ⅰ）由題意可知，，則，，即，,進而得到橢圓方程；（2）當直線斜率存在時，聯立直線AB和橢圓方程，，代入韋達定理即可求得P點坐標；當直線斜率不存在時，，此時可求出，和之前的相等.

（Ⅰ）由題意可知，，則，

又的周長為8，所以，即，，

故橢圓的方程：；

（Ⅱ）假設存在定點，使得為定值，

若直線的斜率存在，設的方程為，

設點，，

將設的方程代入橢圓方程，

整理得，

由韋達定理可得：，，

由于，，

則

，

因為為定值，

所以，

解得，此時，

若直線的斜率不存在，

直線的方程為，，，

則，

當，得，

綜上所述：存在定點，使得為定值.