【題目】已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數.
(1)求k的值;
(2)設g(x)=log4,若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數a的取值范圍.
【答案】(1)k=-.(2){-3}∪(1,+∞).
【解析】
(1)由函數f(x)是偶函數,可知f(x)=f(-x),
∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx.
log4=-2kx,即x=-2kx對一切x∈R恒成立,∴k=-
.
(2)函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,即方程log4(4x+1)-x=log4
有且只有一個實根,化簡得方程2x+
=a·2x-
a有且只有一個實根.令t=2x>0,則方程(a-1)t2-
at-1=0有且只有一個正根.
①a=1t=-,不合題意;②a≠1時,Δ=0a=
或-3.若a=
t=-2,不合題意,若a=-3t=
;③a≠1時,Δ>0,一個正根與一個負根,即
<0a>1.
綜上,實數a的取值范圍是{-3}∪(1,+∞).
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【題目】已知函數,
的最小正期為
.
(1)求的單調增區間;
(2)方程在
上有且只有一個解,求實數
的取值范圍;
(3)是否存在實數滿足對任意
,都存在
,使得
成立.若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標系與參數方程
已知曲線,直線
:
(
為參數).
(I)寫出曲線的參數方程,直線
的普通方程;
(II)過曲線上任意一點
作與
夾角為
的直線,交
于點
,
的最大值與最小值.
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【題目】現將甲、乙兩個學生在高二的6次數學測試的成績(百分制)制成如圖所示的莖葉圖,進人高三后,由于改進了學習方法,甲、乙這兩個學生的考試數學成績預計同時有了大的提升.若甲(乙)的高二任意一次考試成績為,則甲(乙)的高三對應的考試成績預計為
(若
>100.則取
為100).若已知甲、乙兩個學生的高二6次考試成績分別都是由低到高進步的,定義
為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學生的當次成績之差的絕對值.
(I)試預測:在將要進行的高三6次測試中,甲、乙兩個學生的平均成績分別為多少?(計算結果四舍五入,取整數值)
(Ⅱ)求的分布列和數學期望.
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