Question

【題目】已知函數(shù)，為實數(shù).

（1）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)，使得在閉區(qū)間上的最大值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，證明見解析；（2）存在

【解析】

（1）根據(jù)得到解析式，然后根據(jù)，得到解析式，再設(shè)且，整理化簡，判斷出每個因式的正負(fù)，從而得到，從而證明在上的單調(diào)性；（2）根據(jù)，判斷出 單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)對稱軸與區(qū)間之間的關(guān)系，進行分類討論，從而得到答案.

（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.

以下為證明：

當(dāng)，得到，

所以當(dāng)時，，

設(shè)且，

因為，所以，

所以，所以

又因，所以，

即

所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.

（2），

因為

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

，即，解得，

②當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，即，解得（舍），

③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

，即，解得（舍），

綜上所述，.