Question

18．一條光線從點A（-4，0）射入，與直線y=3相交于點B（-1，3），經直線y=3反射后過點C（m，-1），直線l過點C且分別與x軸和y軸的負半軸交于P，Q兩點，O為坐標原點，則當△OPQ的面積最小時直線l的方程為（　　）

• A． $\frac{x}{4}$-$\frac{y}{4}$=1
• B． $\frac{x}{2}$-$\frac{y}{6}$=1
• C． $\frac{x}{6}$-$\frac{y}{2}$=1
• D． $\frac{x}{12}$-$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐標，利用基本不等式，即可求出當△OPQ的面積最小時直線l的方程．

解答 解：直線AB的斜率為1，則反射光線所在的直線方程為y-3=-（x+1），
代入點C得m=3，即C（3，-1）．
設直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＜0），則S_△OPQ=$\frac{1}{2}ab$，且$\frac{3}{a}+\frac{1}{-b}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{-ab}}$，即有-ab≥12，
當且僅當$\frac{3}{a}=\frac{1}{-b}$，即a=6，b=-2等號成立，此時S_△OPQ取最小值6，直線l的方程為$\frac{x}{6}-\frac{y}{2}$=1
故選：C．

點評 考查用截距式求直線方程的方法，基本不等式的應用，正確運用基本不等式是解題的關鍵．