【題目】如圖，三棱柱
中，
側面
，已知
，
，
，點
是棱
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在棱
上是否存在一點
，使得
與平面
所成角的正弦值為
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析（2）
（3）存在,
或
.
【解析】
（1）根據線面垂直的判定定理，即可證得
平面
.
（2）以
為原點，分別以
，
和
的方向為
，
和
軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面
和平面
的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；
（3）假設存在點
，設
，根據
，得到
的坐標，結合平面的法向量為列出方程，即可求解.
（1）由題意，因為
，
，
，∴
，
又∴
，∴
，
∵
側面
，∴
.
又∵
，
，
平面
∴直線平面.
（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
∵
，∴
，令
，則
，∴
設平面的一個法向量為
，
，
，
∵
，∴
，令
，則
，∴
，
，
，
，∴
.
設二面角
為
，則
.
∴設二面角的余弦值為.
（3）假設存在點，設，∵，
，
∴
，∴
∴
設平面的一個法向量為，
∴
，得
.
即
，∴
或
，∴或.
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案
課課優能力培優100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為
的函數
，如果存在區間
，其中
，同時滿足：
①
在
內是單調函數：②當定義域為時，的值域為，則稱函數是區間上的“保值函數”，區間稱為“保值函數”.
（1）求證：函數
不是定義域
上的“保值函數”；
（2）若函數
（
）是區間上的“保值函數”，求
的取值范圍；
（3）對（2）中函數，若不等式
對
恒成立，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線C的參數方程為
（
為參數）．以坐標原點O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；
(Ⅱ)設點
．若直線與曲線C相交于A，B兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，且圓
過橢圓的上，下頂點.
（1）求橢圓的方程.
（2）若直線
的斜率為
，且直線交橢圓于
、
兩點，點關于點的對稱點為
，點
是橢圓上一點，判斷直線
與
的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平行四邊形
中，
，
，
為
邊的中點，沿
將
折起使得平面
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求四棱錐
的體積；
（3）求折后直線
與平面
所成的角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱
的側面
是圓柱的軸截面，
是圓柱底面圓周上不與
重合的一個點．
（1）若圓柱的軸截面是正方形，當點是弧
的中點時，求異面直線
與
的所成角的大小；
（2）當點是弧的中點時，求四棱錐
與圓柱的體積比．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的兩個焦點為
,
,焦距為
,直線
:
與橢圓相交于
,
兩點,
為弦
的中點.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）若直線:
與橢圓相交于不同的兩點
,
,
,若
（
為坐標原點）,求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與拋物線
：
交于
，
兩點，且
的面積為16（
為坐標原點）.
（1）求的方程.
（2）直線
經過的焦點
且不與
軸垂直，與交于
，
兩點，若線段
的垂直平分線與軸交于點
，試問在軸上是否存在點
，使
為定值？若存在，求該定值及的坐標；若不存在，請說明理由.
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