Question

【題目】已知橢圓：的離心率，且圓過橢圓的上，下頂點.

（1）求橢圓的方程.

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關于點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，0.

【解析】

(1)根據已知條件,求出,即可得到橢圓方程;

(2)設直線的方程為,將其代入橢圓方程后,根據韋達定理以及斜率公式變形,可得答案.

（1）因為圓過橢圓的上，下頂點，所以，

又離心率，所以，

于是有，解得，.所以橢圓的方程為；

（2）由于直線的斜率為，可設直線的方程為，代入橢圓：，

可得.

由于直線交橢圓于、兩點，所以，

整理解得

設點、，由于點與點關于原點的對稱，故點，

于是有，.

若直線與的斜率分別為，，由于點，

則，

又∵，.

于是有

，

故直線與的斜率之和為0，即.