Question

8．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓ρ=4cosθ與圓ρ=2sinθ交于O，A兩點．
（Ⅰ）求直線OA的斜率；
（Ⅱ）過O點作OA的垂線分別交兩圓于點B，C，求|BC|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，化簡即可得出k_OA．
（Ⅱ）設A的極角為θ，tanθ=2，則sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，把B（ρ₁，θ-$\frac{π}{2}$）代入ρ=2cosθ得ρ₁．把C（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入ρ=sinθ得ρ₂，利用|BC|=ρ₁+ρ₂，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，
∴k_OA=2．
（Ⅱ）設A的極角為θ，tanθ=2，則sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則B（ρ₁，θ-$\frac{π}{2}$），代入ρ=2cosθ得ρ₁=2cos（θ-$\frac{π}{2}$）=2sinθ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
C（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），代代入ρ=sinθ得ρ₂=sin（θ+$\frac{π}{2}$）=cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴|BC|=ρ₁+ρ₂=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程的應用、斜率計算、弦長計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．