Question

7．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$，則（x-1）²+（y-1）²的取值范圍是（　　）

• A． [5，25]
• B． [1，25]
• C． $[{\frac{1}{2}，20}]$
• D． $[{\frac{5}{2}，20}]$

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解即可．

解答 解：x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$的可行域如圖：
（x-1）²+（y-1）²的幾何意義是可行域內的點與D（1，1）的距離的平方，
由圖形可知DP距離的平方最小，DA距離的平方最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（3，-3）．
（x-1）²+（y-1）²的最小值為：$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（x-1）²+（y-1）²的最大值為：（3-1）²+（-3-1）²=20．
（x-1）²+（y-1）²的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，20]
故選：C．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，確定目標函數的幾何意義是解題的關鍵，考查數形結合以及計算能力．