Question

已知可導函數f（x）（x∈R）的導函數f′（x）滿足f′（x）＞f（x），則不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題目要求解的不等式是ef（x）＞f（1）e^x，變性后得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，由此想到構造函數g（x）=

f(x)

ex

，求導后結合f'（x）＞f（x），可知函數g（x）是實數集上的增函數，然后利用函數的單調性可求得不等式的解集．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，
則g′(x)=

ex•f′(x)-ex•f(x)

e2x

=

ex(f′(x)-f(x))

e2x

，
因為f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，
所以，函數g（x）=

f(x)

ex

為（-∞，+∞）上的增函數，
由ef（x）＞f（1）e^x，得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，即g（x）＞g（1），
因為函數g（x）=

f(x)

ex

為（-∞，+∞）上的增函數，
所以，x＞1．
所以，不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是（1，+∞）．
故答案為（1，+∞）．

點評：本題考查了導數的運算法則，考查了不等式的解法，解答此題的關鍵是聯系要求解的不等式，構造出函數g（x）=

f(x)

ex

，然后利用導數的運算法則判斷出其導函數的符號，得到該函數的單調性．此題是中檔題．