Question

17．已知a∈[-2，2]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，則x的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 將不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0（-2≤a≤2）恒成立轉化為（x-2）a+x²-4x+4＞0（-2≤a≤2），構造函數g（a）=（x-2）a+x²-4x+4（-2≤a≤2），由$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$即可求得x的取值范圍．

解答 解：a∈[-2，2]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立?（x-2）a+x²-4x+4＞0恒成立（-2≤a≤2），
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4（-2≤a≤2），
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+8＞0}\\{{x}^{2}-2x＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞4或x＜0．
故x的取值范圍為：（-∞，0）∪（4，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪（4，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，將x²+（a-4）x+4-2a＞0（-2≤a≤2）恒成立轉化為（x-2）a+x²-4x+4＞0（-2≤a≤2）是關鍵，考查等價轉化思想與構造函數思想的綜合運用，屬于中檔題．