Question

海島B上有一座海拔1000米的山，山頂A處設有一觀測站，上午11時測得一輪船在海島北偏東60°，俯角30°的C處；11時20分又測得該輪船在海島北偏西60°，俯角60°的D處問：
（Ⅰ）此輪船的速度是多少？
（Ⅱ）如果輪船的航向和速度不變，它何時到達島的正西方？

Answer 1

分析：（I）根據題中數據與位置關系，分別在Rt△ABC與Rt△ABD中算出BC、BD的長，然后在△BCD中利用余弦定理算出CD的長，即可得出此輪船的速度；
（II）延長CD，與正西線所在直線交于E，作DF∥CB于F，可得DF=DB，從而算出△EDF與△ECB的相似比等于

1

3

，得到DE=

1

2

CD=

39

6

，再由路程除以速度得到輪船從D到E所需的時間，即可得到輪船何時到達島的正西方．

解答：解：（Ⅰ） 如圖所示，由題意可得AB⊥BC且AB⊥BD，
∵∠ACB=∠DAB=30°，AB=1，
∴BC=

3

AB=

3

，BD=

AB

3

=

3

3

，
又∵△BCD中，∠CBD=120°，
∴由余弦定理，得CD2=3+

1

3

-2×

3

×

3

3

cos120°=

13

3

，解之得CD=

39

3

(km)，
∴此輪船的速度v=

39

3

÷

20

60

=

39

(km/h)．
（Ⅱ）延長CD，與正西線所在直線交于E，作DF∥CB于F，
則∠DFB=∠DBF=30°，可得DF=DB=

3

3

，
∴在△EBC中，

ED

EC

=

FD

BC

=

BD

BC

=

3 3

3

=

1

3

∴DE=

1

3

EC=

1

2

DC=

39

6

（km）
因此，輪船從D到E所需消耗的時間為：

39 6

39

=

1

6

小時，
即經過10分鐘后，輪船到達島的正西方，故此輪船在11時30分到達島的正西方．

點評：本題給出實際應用問題，求輪船的行駛速度與行駛到島的正西方所需的時間．著重考查了正余弦定理、直角三角形中三角函數的定義、相似三角形的判定與性質和解三角形的實際應用等知識，屬于中檔題．