Question

已知函數f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x=1垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x=1垂直，
∴f'（1）=-（a+1）=0，
解得：a=-1；
（Ⅱ）由題意可得，f（x）定義域為（0，+∞）
（I）對函數求導可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
①a≥0時，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈（0，

1

2

），由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，+∞），
∴f（x）在（0，

1

2

）單調遞增，在（

1

2

，+∞）單調遞減，
②a＜0時，令f′（x）=0可得x₁=

1

2

或x₂=

1

a

，
（i）當-2＜a＜0時-

1

a

＞

1

2

，
由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，-

1

a

），由f′（x）＞0可得x∈（0，

1

2

），
故f（x）在（

1

2

，-

1

a

）單調遞減，在（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）上單調遞增，
（ii）當a＜-2時，同理可得f（x）在（-

1

a

，

1

2

）單調遞減，在（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞）單調遞增，
（iii）當a=-2時，f′（x）=

(2x-1)2

x

≥0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增．