Question

5．已知函數f（x）=（x-1）e^x+ax²有兩個零點．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設x₁，x₂是f（x）的兩個零點，證明x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a），通過（i）當a＞0時，判斷函數的單調性，判斷零點個數；（ii）若a=0，判斷f（x）只有一個零點．（iii）若a＜0，利用單調性判斷零點個數即可．
（Ⅱ）不妨設x₁＜x₂．推出x₁＜-x₂．利用函數f（x）在（-∞，0）單調遞減，證明f（-x₂）＜0．令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．利用g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，轉化證明即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a）（1分）
（i）當a＞0時，
函數f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．                 （2分）
∵f（0）=-1＜0，f（2）=e²+4a＞0，
取實數b滿足b＜-2且b＜lna，則f（b）＞a（b-1）+ab²=a（b²+b-1）＞a（4-2-1）＞0，
（3分）
所以f（x）有兩個零點．                                           （4分）
（ii）若a=0，則f（x）=（x-1）e^x，故f（x）只有一個零點．          （5分）
（iii）若a＜0，由（I）知，
當$a≥-\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，+∞）單調遞增，又當x≤0時，f（x）＜0，故f（x）不存在兩個零點；
當$a＜-\frac{1}{2}$，則函數在（ln（-2a），+∞）單調遞增；在（0，ln（-2a））單調遞減．又當x≤1時，f（x）＜0，故不存在兩個零點．                                （6分）
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．                            （7分）
證明：（Ⅱ）不妨設x₁＜x₂．
由（Ⅰ）知x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，+∞），-x₂∈（-∞，0），則x₁+x₂＜0等價于x₁＜-x₂．
因為函數f（x）在（-∞，0）單調遞減，
所以x₁＜-x₂等價于f（x₁）＞f（-x₂），即證明f（-x₂）＜0．（8分）
由$f（{x_2}）=（{{x_2}-1}）{e^{x_2}}+ax_2^2=0$，得$ax_2^2=（{1-{x_2}}）{e^{x_2}}$，$f（{-{x_2}}）=（{-{x_2}-1}）{e^{-{x_2}}}+ax_2^2=（{-{x_2}-1}）{e^{-{x_2}}}+（{1-{x_2}}）{e^{x_2}}$，（9分）
令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．（10分）
g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，g（x）在（0，+∞）單調遞減，又g（0）=0，所以g（x）＜0，
所以f（-x₂）＜0，即原命題成立．（12分）

點評 本題考查函數的極值，函數的單調性以及函數的零點個數的問題，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．