Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足以下關系式S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2ⁿ•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設P_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n（λ為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，有P_n+1＞P_n恒成立．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，（n≥2，n∈N^*），從而數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（n+1），由此利用錯位相減法能求出T_n=n•2ⁿ⁺¹．
（Ⅲ）由已知得Pn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，要使P_n+1＞P_n恒成立，而（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立，由此能求出存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有P_n+1＞P_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1，n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1，
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（n+1），
∴T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹．
（Ⅲ）解：∵a_n=n+1，∴Pn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，
要使P_n+1＞P_n恒成立，
則Pn+1-Pn=4n+1-4n+(-1)n•λ•2n+2-(-1)n-1•λ•2n+1＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，
當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1．
（ⅱ）當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．即-2＜λ＜1，又λ為非零整數，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有P_n+1＞P_n．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．