Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD，BF=3，G、H分別是CE和CF的中點．

（Ⅰ）求證：AF//平面BDGH；

（Ⅱ）求

 

 

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結AC、BD，設AC、BD交于O，連結HO，由ABCD為正方形知，O是AC的中點，由H是CF的中點及三角形中位線定理知，OH∥AF，由線面平行判定定理知，AF∥面BDGH；

（Ⅱ）由BDEF為矩形知DE⊥BD，由面BDEF⊥面ABCD及面面垂直性質定理知DE⊥面ABCD，所以DE⊥AC，由ABCD為正方形知AC⊥BD，所以AC⊥面BDEF，AO是A到面BDEF的距離，因為H是CF的中點，所以H到面BDEF的距離為AO的一半，很容易計算出棱錐H-BEF的體積就是棱錐E-BFH的體積．

試題解析：（Ⅰ） 證明：設，連接，

在中，因為，，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面． （6分）

（Ⅱ）因為四邊形是正方形，

所以．

又因為平面平面，平面平面，

且平面，

所以平面． 得 平面 （8分）

則H到平面的距離為CO的一半

又因為，三角形的面積，

所以 （12分）

考點：線面平行的判定，面面垂直性質定理，線面垂直的判定與性質，錐體體積計算，推理論證能力